纖維取向的平均概率分布函數(shù)為描述流場中任一位置纖維取向的概率分布，本文定義（t，x，pi）函數(shù)，這里pi為平行于纖維軸的單位矢量，那么（t，x，pi）dpi就是纖維取向介于pi和（pi+dpi）之間的概率，（t，x，pi）滿足以下的守恒方程：t+ujxj=-（pj）pj。（1）式中：uj為流場的速度，pj為纖維的角速度：pi=-ijpj+ijpj-klpkplpi。（2）式中：ij=（uj/xi-ui/xj）/2為流場的渦度張量；參數(shù)=（r2-1）/（r2+1），其中r為纖維長徑比；ij=（ui/xj+uj/xi）/2為流場的應變率張量。
將式（1）中流場的瞬時速度、纖維的瞬時概率分布函數(shù)和瞬時角速度表示為平均量和脈動量之和：uj=uj+uj，=+，pj=p-j+pj。（3）將式（3）代入式（1），并對方程兩邊取平均得t+ujxj+（p-j）pj=ujxj-（pj）pj。（4）式中：uj和pj分別為纖維取向脈動概率分布函數(shù)與流場脈動速度、纖維脈動角速度的關聯(lián)，其物理含義分別為在湍流脈動的作用下，纖維平均概率分布函數(shù)沿空間和方向角的擴散，因此可以表示為-uj=xj；-pj=pj，（5）式中：x和p分別為纖維線位移和角位移的擴散系數(shù)。將方程式（5）代入方程式（4）得t+ujxj+（p-j）pj=x2x2j+p2p2j。
（6）式中：p-j可以用相應的表達式代入，為此將方程式（2）中的纖維瞬時角速度、流場的瞬時渦度張量和瞬時應變率張量表示成平均量和脈動量之和。
槽道湍流場中的平均概率分布函數(shù)平均概率分布函數(shù)方程將方程式用于所示的槽道流場，纖維軸向與x方向的夾角用表示，纖維的半徑和半長分別為a和l.在直角坐標下，定常流場的纖維平均概率分布函數(shù)方程可以簡化。
附加剪切應力和第一法向應力差與單純的牛頓流體相比，纖維懸浮流多了附加應力，而且流變特性發(fā)生了變化，其主要特征之一是具有第一法向應力差。對于本文的二維槽流，纖維懸浮流剪切應力和第一法向應力差分別為（12=）+）pa1122，（12）（11-（22=）p（a1112-a1222）。
計算結果及討論纖維總體取向分布為纖維取向概率分布的三維圖，可見在0和180時有最大值，在90有最小值，即纖維的軸向與流動方向平行的概率最大、垂直的概率最小，其原因是流場的平均速度梯度在纖維上產生了一個力矩，該力矩使得纖維產生轉動，而纖維的軸向與流動方向平行時，纖維受到的力矩最小。由于湍流場中還有脈動速度對纖維的作用，該作用是接近各向同性的，它使得纖維的取向隨機分布，這也使得纖維的軸向與流動方向平行的現(xiàn)象不像層流的情況那樣明顯，而脈動量的特征長度遠小于纖維的特征長度，因此脈動速度的作用受到限制，平均速度梯度和脈動速度綜合作用的結果形成了的分布。以上結論與Bernstein和Shapiro<11>在圓管中的實驗結果一致，但他們的實驗結果給出的僅僅是圓管中線附近的纖維取向分布，則顯示了從壁面到槽道中心的纖維的取向分布，可見纖維的取向分布沿著槽道寬度的方向幾乎保持不變。
纖維長徑比對取向分布的影響為不同長徑比下纖維取向的平均概率P分布，可見隨著長徑比的增加，纖維取向趨向于流動方向分布，當長徑比r=1時，取向完全等概率分布，如（a）。當r5時，曲線幾乎重疊，從（b）可以看出，此時長徑比增加使得分布曲線更加陡峭，但已經對取向分布影響很小。這可解釋為：r=1相當于圓球的情形，此時粒子已接近各向同性，因此取向分布是等概率的。在r<5的范圍內，隨著長徑比的增大，平均速度梯度產生的力矩也逐漸增大，而脈動速度的作用相對變小，因此纖維的軸向開始趨向于平行于流動的方向，概率分布曲線的最大值和最小值之差也增大。當r5以后，平均速度梯度的特征尺度也小于纖維的特征尺度，對纖維的作用已經很弱，因此再增加長徑比，纖維的取向分布基本不改變。
流場壓降對取向分布的影響改變流場的壓降dp/dx可以得到不同壓降下纖維的取向分布。本文分別取dp/dx=-0.1、-0.4、-1、-10、-100，在其他條件不變的前提下，變化壓降意味著流場速度變化，即雷諾數(shù)發(fā)生變化，對應以上壓降的雷諾數(shù)分別為10991、24153、40458、145970和518590.計算結果表明，各種壓降下纖維的取向分布幾乎相同，這是因為在以上5種壓降下，流場雷諾數(shù)已經很大，流場已成為充分發(fā)展湍流場，平均速度剖面和脈動速度結構已趨于穩(wěn)定，因此流場對纖維取向的影響也趨于不變。
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